根号i令你困惑吗？它可以算出来！这背后隐藏了一个奇迹 | 袁岚峰
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有人问：
根号i有意义吗？
突发奇想，根号下-1等于i，那么根号下i又表示什么？
我的回答：
你需要的其实是代数基本定理：任何一元n次复系数多项式方程在复数域中必定有n个根。
人们最初认识的数是自然数。然后为了表示没有，加上0。为了处理5/3这种除不尽的情况，扩展到有理数。为了表示根号2这种不能表示为两个整数相除的情况，加上无理数。为了表示欠账，加上负数。到这时已经把实数都推出来了。
下一个问题是，-1的平方根是什么？显然，在实数域里是没有解的，因为任何实数的平方都大于等于0。可是-1的平方根又很有用，例如用来解一元二次方程。意大利数学家卡丹（Gerolamo Cardano, 1501 - 1576）研究过：如何把10分成两部分，使它们的乘积等于40？答案只能是5 + sqrt(-15)和5 – sqrt(-15)。
卡丹
于是人们一咬牙一跺脚，把-1的平方根定义为i，并且承认了所有形式为a + bi（a和b是实数）的数，也就是复数。
到了这一步，一个很自然的问题就是：那i的平方根又是什么？根据前面的经验，人们很容易猜想，在复数域里又找不到解，数域又得再一次扩大。然后就会陷入恐慌：像这样无限进行下去，数域越来越大，岂不是恶性循环？
但是，在这里，这个逻辑链条却突然停止下来了。你唯一需要做的，就是勇敢地去算。假设有一对实数a和b使得a + bi的平方等于i，也就是说，(a^2 - b^2) + 2abi = i。等式两边实部等于实部，就是a^2 – b^2 = 0，所以a = ±b；虚部等于虚部，就是2ab = 1。由此可得，a = b = ±1/sqrt(2)。因此，i的平方根等于(1 + i) /sqrt(2)或者-(1 + i) /sqrt(2)。这是两个完全正常的复数！
实际上，用复数的幅角来理解就很简单了。一个复数a + bi对应复平面上的一个点(a, b)，也对应从原点到这个点的一个矢量。这个矢量的长度叫做这个复数的绝对值或者模，从x轴的正半轴到这个矢量的角叫做这个复数的幅角。模为1的复数位于单位圆上，而求平方根就相当于在单位圆上把幅角减半。-1的幅角是180度，-1的平方根即i的幅角是90度，i的平方根的幅角是45度，i的平方根的平方根的幅角是22.5度……
用幅角理解i的平方根
原本以为是一道令人头疼不已的难题，哪知答题人早已成竹在胸，不动声色直接搞定。这种事情在哪里遇到过？Duang！电视机前的观众朋友们，我们插播一条刚刚收到的贺电，来自周伯通和小龙女，见《神雕侠侣》第25回《内忧外患》：
小龙女道：“难道蠢人学功夫，反而会胜过聪明人？我可不信。”周伯通笑嘻嘻的道：“我瞧你品貌才智，和那小黄蓉不相上下，武功也跟她差不远。你既不信，那你便用左手食指在地下画个方块，右手食指同时画个圆圈。”小龙女依言伸出两根食指在地下划画，但画出来的方块有点像圆圈，圆圈却又有点像方块。周伯通哈哈大笑，道：“是么？你这一下便办不到。”
小龙女微微一笑，凝神守一，心地空明，随随便便的伸出双手手指，左手画了一个方块块，右手画了一个圆圈，方者正方，圆者浑圆。
周伯通大吃一惊，道：“你……你……”过了半晌，才道：“你从前学过的么？”
小龙女道：“没有啊，这又有甚么难了？”周伯通搔着满头白发，道：“那你是怎么画的？”小龙女道：“我也不知道。心里甚么也不想，一伸手指便画成了。”随即左手写了“老顽童”三字，右手写了“小龙女”三字，双手同时作书，字迹整整齐齐，便如一手所写一般。
李若彤饰小龙女
复数域用不着扩大，就能包括i的平方根。推而广之，就是高斯等人证明的代数基本定理：任何一元n次复系数多项式方程在复数域中必定有n个根。比如说，x^2 - i = 0必然有两个复数根，x^3 + i * x^2 - 4x + (1 - i) = 0必然有三个复数根，如此等等。用不着扩大数域，在复数域你就能解决所有的开方问题，那个恶性循环被一劳永逸地终止了！用数学术语说，开方在复数集合内有封闭性，而在前面的自然数集合、有理数集合、实数集合内都不封闭。这真是复数的了不起之处。
高斯
再仔细想想，不要说i的平方根，连i的i次方都没什么了不起的，仍然在复数域内。（你能想出i的i次方是什么吗？）
从此以后，人们再也没有了扩展数域的紧迫感，只有少数人还在思考这个问题。
复数是由实部和虚部构成的，相当于两个实数的组合。哈密顿（William Rowan Hamilton, 1805 - 1865）想发明一种相当于三个实数的组合的数，琢磨了几十年一直不得其法，搞不出一套自洽而有用的东西。直到1843年10月16日这一天，他在布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为 Broom Bridge金雀花桥）边散步时，突然领悟到三个是不行的，至少要四个，赶快把想法刻在桥上，这就是四元数的诞生。
哈密顿
四元数固然是个值得敬佩的成就，不过现在看来，它的主要用途只是描述旋转，重要性远不如复数。从复数到四元数的扩展，远不如从实数到复数的扩展重要，以至于大多数人不学四元数都没什么关系。
四元数与旋转
这样看来，当初发明复数和证明代数基本定理的人，是多大的大神？
【本文源自袁岚峰对知乎问题“根号i有意义吗？”的回答（）。】
作者简介：袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家实验室副研究员，科技与战略风云学会会长，微博@中科大胡不归 ，知乎@袁岚峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。代表作《中国科技实力正以多快的加速度逼近美国》。
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